Многогранник

Многогранник или полиэдр — поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающих некоторое геометрическое тело, которое так же иногда называется многогранником.

Три варианта определения

Многогранник, точнее трёхмерный многогранник — совокупность конечного числа плоских многоугольников в трёхмерном евклидовом пространстве такая, что:

1. каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне);
2. (связность) от любого из многоугольников, составляющих многогранник, можно дойти до любого из них, переходя к смежному с ним, а от этого, в свою очередь, к смежному с ним, и т. д.

Эти многоугольники называются гранями, их стороны — рёбрами, а их вершины — вершинами многогранника. Простейшими примерами многогранников являются выпуклые многогранники, т.е. граница ограниченного подмножества евклидова пространства являющееся пересечением конечного числа полупространств.

Приведенное определение многогранника получает различный смысл (то есть обозначает 2 различных понятия) в зависимости от того, как определить многоугольник, возможны следующие два варианта:

• Плоские замкнутые ломаные (хотя бы и самопересекающиеся);
• Части плоскости, ограниченные ломаными.

В последнем случае многогранник есть поверхность, составленная из многоугольных кусков.

• Если эта поверхность сама себя не пересекает, то она есть полная поверхность некоторого геометрического тела, которое также называется многогранником; отсюда возникает определение третьего понятия многогранника, как самого геометрического тела.

Выпуклый многогранник

Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой из его граней

Вариации и обобщения

• Понятие многогранника индуктивно обобщается по размерности, и обычно называется n-мерный многогранник или n-мерный политоп.
• Бесконечный многогранник допускает в определении конечное число неограниченных граней и рёбер
• Криволинейные многогранники допускают криволинейные рёбра и грани.
• Сферический многогранник.

Примечания

См. также

• Правильный многогранник
• Полуправильный многогранник
• Звёздчатый многогранник
• Двойственный многогранник
• Изгибаемый многогранник
• Перестановочный многогранник
• Теорема Коши о многогранниках
• Теорема Минковского о многогранниках
• Теорема Александрова о выпуклых многогранниках
• Теорема Линделёфа о многограннике наименьшей площади при заданном объёме

Ссылки

• Тиморин В.А. Комбинаторика выпуклых многогранников — МЦНМО, 2002. — 16 с. — ISBN 5-94057-024-0.
• Веннинджер Магнус. Модели многогранников — Москва: Мир, 1974. — С. 236. (рус.)
• Гончар В.В. Модели многогранников — Москва: Аким, 1997. — С. 64. — ISBN 5-85399-032-2. (рус.)
• Гончар В.В. Модели многогранников — Ростов-на-Дону: Феникс, 2010. — С. 143. — ISBN 978-5-222-17061-8. (рус.)