Сфера

Сфе́ра (греч. σφαῖρα — мяч) — замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы. Сфера также является телом вращения, образованным при вращении полуокружности вокруг своего диаметра. Площадь сферы в градусной мере с учетом непостоянства значения размеров дуг составляет 41252.96 кв. градусов.

Сфера является частным случаем эллипсоида, у которого все три оси (полуоси, радиусы) равны. Сфера является поверхностью шара.

Объёмы цилиндра, вписанной в него сферы, касающейся его основания, и двух конусов, имеющих общую вершину в центре основания и основания, равные основаниям цилиндра, находятся в соотношении 1:2:3^[1]

Основные геометрические формулы

Площадь сферы

Объем шара, ограниченного сферой

Площадь сегмента сферы

, где H — высота сегмента, а α — зенитный угол

Сфера в трёхмерном пространстве

Уравнение

(x − x₀)² + (y − y₀)² + (z − z₀)² = R²,

где (x₀,y₀,z₀) — координаты центра сферы, R — её радиус.

Параметрическое уравнение сферы с центром в точке (x₀,y₀,z₀):

\begin{cases} x = x_0 + R \cdot \sin \theta\cdot \cos \phi,\ y = y_0 + R \cdot \sin \theta\cdot \sin \phi,\ z = z_0 + R \cdot \cos \theta,\ \end{cases}

где и

Геометрия на сфере

Основная статья: Сферическая геометрия

Окружность, лежащая на сфере, центр которой совпадает с центром сферы, называется большим кругом (большой окружностью) сферы. Большие круги являются геодезическими линиями на сфере; любые два из них пересекаются в двух точках.

Расстояние между двумя точками на сфере

Если даны сферические координаты двух точек, то расстояние между ними можно найти так:

Однако, если угол θ задан не между осью Z и вектором на точку сферы, а между этим вектором и плоскостью XY (как это принято в земных координатах, заданных широтой и долготой), то формула будет такая:

В этом случае θ₁ и θ₂ называются широтами, а ϕ₁ и ϕ₂ долготами.

n-мерная сфера

Основная статья: Гиперсфера

В общем случае уравнение (n-1)-мерной сферы (в n-мерном евклидовом пространстве) имеет вид:

где (a₁,...,a_n) — центр сферы, а r — радиус.

Пересечением двух n-мерных сфер является n-1-мерная сфера, лежащая на радикальной гиперплоскости этих сфер.

В n-мерном пространстве могут попарно касаться друг друга (в разных точках) не более n+1 сфер.

n-мерная инверсия переводит n-1-мерную сферу в n-1-мерную сферу или гиперплоскость.

См. также

Примечания