Непрерывные функции

Непрерывные функции

Непрерывное отображение или непрерывная функция — это такое отображение, у которого небольшие изменения аргумента приводят к небольшим изменениям значения отображения.

Это понятие определятся немного по-разному в различных разделах математики; наиболее общее определение используется в общей топологии.

Содержание 1 Определения 1.1 Непрерывная числовая функция 1.2 Непрерывное отображение из Rm в Rn 1.3 Непрерывное отображение метрических пространств 1.4 Непрерывное отображение топологических пространств 2 Связанные определения 3 Свойства 3.1 Вещественнозначаные функции 4 Примеры 5 Вариации и бобщения 5.1 Односторнняя непрерывность 5.1.1 Замечания 5.1.2 Примеры 6 См. также

Определения

Непрерывная числовая функция

• Пусть дана функция и Тогда говорят, что f непрерывна в точке a и пишут если

• Пусть дано подмножество Тогда говорят, что f непрерывна на N и пишут если

Непрерывное отображение из R^m в Rⁿ

Обобщая одномерный случай, функция называется непрерывной в точке если

где

— евклидова норма в

Непрерывное отображение метрических пространств

В предыдущем определении наличие операции вычитания, точнее линейной структуры, в евклидовых пространствах не играет принципиальной роли. Достаточно лишь иметь возможность измерять расстояния. Множества, на которых указан способ измерять расстояния, называются метрическими пространствами. Отображение метрического пространства (X,_X) в метрическое пространство (Y,_Y) называется непрерывным в точке a, если

Непрерывное отображение топологических пространств

В предыдущих определениях важно не наличие точной меры расстояния, а лишь понятия близости. Непрерывное отображение переводит близкие точки в близкие. Множество, в котором указан некоторый набор подмножеств , позволяющий говорить о близких точках, называется топологическим пространством. Отображение топологического пространства в топологическое пространство называется непрерывным, если прообраз любого открытого множества открыт:

Связанные определения

Если функция не является непрерывной в точке a, то говорят, что она в ней разрывна и пишут Согласно замечанию выше функция может быть разрывной только в предельной точке области определения, и справедливо одно из двух:

1. Либо предел не существует;
2. Либо он существует, но

Пусть существует но или Тогда a называется точкой устранимого разрыва. Положив можно добиться непрерывности функции в этой точке. Такое изменение значения функции в точке, превращающее функцию в непрерывную в этой точке, называется доопределением по непрерывности.

Пусть не сущестует двусторонний предел но существуют конечные (и различные) односторонние пределы и Тогда и a называется точкой разрыва первого рода.

Если и a не является точкой устранимого разрыва или разрыва первого рода, то есть хотя бы один односторонний предел не существует или бесконечен, то она называется точкой разрыва второго рода.

Свойства

• Функция всегда непрерывна в изолированной точке области определения, то есть

• В предельной точке области определения непрерывность функции эквивалентна существованию предела, равного значению функции в точке:

Вещественнозначаные функции

• Функция сохраняет знак в окрестности точки непрерывности. Пусть Тогда существует окрестность U(a) такая, что

• Сумма непрерывных функций также является непрерывной. Пусть . Тогда

• Непрерывная функция умноженная на константу также является непрерывной. Пусть и — произвольная константа. Тогда

• Произведение непрерывных функций также является непрерывным. Пусть . Тогда

• Частное непрерывных функций также является непрерывным. Пусть и Тогда существует окрестность U(a), в которой функция определена, и

• Композиция двух непрерывных функций так же является непрерывной. Пусть Тогда

• Дифференцируемая функция всегда непрерывна. Обратное, вообще говоря, неверно. Например, функция Ван-дер-Вардена непрерывна, но не дифференцируема на всей прямой.
• Теорема Больцано — Коши;
• Теорема Вейерштрасса о функции, непрерывной на компакте.

Примеры

• Произвольные многочлены, рациональные функции, показательные функции, логарифмы, тригонометрические прямые и обратные функции непрерывны везде в своей области определения.
• Функция задаваемая формулой

непрерывна в любой точке Точка x = 0 является точкой устранимого разрыва, ибо

• Функция знака

непрерывна в любом Точка x = 0 является точкой разрыва первого рода, ибо

непрерывна в любом

Вариации и бобщения

Односторнняя непрерывность

• Пусть дана функция и Тогда говорят, что f непрерывна справа в точке a, если

• Говорят, что f непрерывна слева в точке a, если

Замечания

• Функция непрерывна тогда и только тогда, когда она непрерывна одновременно справа и слева.
• Функция непрерывна справа в предельной точке области определения тогда и только тогда, когда существует правосторонний предел

• Функция непрерывна слева в предельной точке области определения тогда и только тогда, когда существует левосторонний предел

• Все базовые свойства непрерывных функций переносятся на односторонне непрерывные функции.

Примеры

• Функция

непрерывна справа (но не слева) в точке x = 0. Во всех других точках она непрерывна.

• Кумулятивная функция распределения дискретной случайной величины в теории вероятностей непрерывна справа в любой точке.

См. также

• Пространство непрерывных функций
• Общая топология
• Топологическое пространство
• Открытое отображение

Предыдущая страница

Следующая страница

Статистика

Вексельберг Виктор Феликсович Захович, Златко Прекульское староство Гертц, Эббс Тимм В. Метр (музыка)