Числа Какота

Числа Какота — кардинальные числа, используются при рассмотрении счетности/несчетности элементов множеств. Так натуральные числа — начальный класс, он же — счетное множество N=0,1,2,…,N-1 всех конечных чисел. Его кардинал N называется конечным числом Какота. Какот — герой повествования чукотского писателя Юрия Рытхэу. (Кагот искал числа, которые уже не конечные, но еще и не бесконечные, и считал, что тот, кто найдет их, будет счастлив и все узнает). Числа Какота позволяют в примитивной теории множеств сопоставить бесконечному ряду W всех порядковых чисел бесконечный числовой рядо .

Бесконечный ряд W порядковых чисел имеет вид:

W={0,1,2,3,…,n,…; ,+1,+2,+3,…,+n,…; …; n,n+1,n+2,n+3,…,n+n,…; … …; 1,1+1,…; 2,2+1,…; …; ,+1,…; …}. Его началом является канторовский бесконечный ряд порядковых чисел со свойствами: за всеми конечными числами n следует наименьшее трансфинитное число , которое указывает также количество предшествующих ему конечных чисел. Само же число не имеет предшественника, то есть левого соседнего с ним числа -1. Любое бесконечное число вида , n,n, и т. д. является предельным и не имеет предшественника. Не имеют предшественников и все числа, кратные начальной бесконечности . Это значит, что перед всеми этими числами есть «дырки». Говорят, что ряд W не имеет наибольшего бесконечного числа. Логически это то же самое, что говорить, что множество конечных натуральных чисел не имеет наибольшего конечного числа.

Бесконечный числовой ряд , свободный от концептуальных противоречий, выглядит следующим образом: ={0,1,2,…,N-1; N,N+1,…,2N-1;;…; nN,nN+1,…,(n+1)N-1; ;…; 2N-N,2N-N+1,…,2N-1; -=2N,-+1,-+2,…,-n-1,-n,-n+1,…,-1-1,-1,-1+1,… …,0-1,0,0+1,…,1,…,i,…,+}.

Ряд имеет фундаментальные отличия от ряда W. Он прост по существу: на нем справедливы принципы классической логики и конечной арифметики, его счетное множество является не бесконечным, а конечным, а также ряд не имеет в известном смысле не только наибольшего бесконечного числа, но и наименьшего бесконечного числа: -- наименьшей и ± наибольшей бесконечностей. Его архитектура существенно отличается от архитектуры ряда W и заключается в том, что ряд может быть разбит на пять классов: -начальный класс, он же — счетное множество N=0,1,2,…,N-1 всех конечных чисел. Его кардинал N называется конечным числом Кагота. Благодаря этим числам можно утверждать, что Диагональный метод Кантора останется непоколебимым.

См. также

Мощность множества или кардинальное число множества

• Кардинальное число
• Ординальное число
• Теорема Кантора (значения)