Фундаментальная система решений

Фундаментальная система решений (ФСР) представляет собой набор линейно независимых решений однородной системы уравнений.

Однородные системы

Однородной системой линейных уравнений называется система вида:

Нулевое решение системы (1) называется тривиальным решением.

Однородные системы всегда совместны, т.к. всегда существует тривиальное решение.

Если существует любое ненулевое решение системы, то оно называется нетривиальным.

Решения однородной системы обладают свойством линейности:

Сформулируем теорему, которая позволит дать основное определение:

Пусть дана однородная система (1), тогда набор векторов размера называется фундаментальной системой решений (ФСР) (1), если:

• — решения системы (1);
• линейно независимы;
• .

Пример

Решим систему

Перепишем её в матричном виде:

Путём элементарных преобразований над строками приведём её основную матрицу к ступенчатому виду:

Таким образом ранг системы (ранг её основной матрицы) равен двум. Это значит, что существует линейно независимых решения системы.

Перепишем полученную систему в виде уравнений:

Возьмём и в качестве главных переменных. Тогда:

Подставим по очереди единицы в качестве одной из свободных переменных: и .

Тогда общее решение рассматриваемой системы может быть записано так:

а вектора составляют фундаментальную систему решений.

Неоднородные системы

Неоднородной системой линейных уравнений называется система вида:

— её расширенная матрица.

Пример

Решим систему

Преобразуем её к

Тогда переменные и обязательно будут главными, возьмём также в качестве главной.

Заметим, что является частным решением.

Составим однородную систему:

Тогда, подставив единицу в качестве свободной переменной , получим ФСР однородной системы:

Общее решение системы может быть записано так:

Литература

Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — 6-е изд., стер. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 280 с.

См. также

• Линейная независимость
• Матричный метод
• Метод Гаусса
• Метод Крамера