Лапласиан

Оператор Лапласа (лапласиан) — дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций и обозначаемый символом . Функции он ставит в соответствие функцию .

Оператор Лапласа часто обозначается следующим образом , то есть в виде скалярного произведения оператора Набла на себя. Оператор Лапласа эквивалентен также последовательному взятию операций градиента и дивергенции: , таким образом значение оператора Лапласа в точке может быть истолковано как плотность источников (стоков) потенциального векторного поля в этой точке.

Другое определение оператора Лапласа

Оператор Лапласа является естественным обобщением на функции нескольких переменных обычной второй производной функции одного переменного. В самом деле, если функция имеет в окрестности точки непрерывную вторую производную , то, как это следует из формулы Тейлора

вторая производная есть предел

Eсли, переходя к функции от переменных, поступить таким же образом, т.е. для заданной точки рассматривать её -мерную шаровую окрестность радиуса и разность между средним арифметическим

функции на границе такой окрестности с площадью границы и значением в центре этой окрестности , то в случае непрерывности вторых частных производных функции в окрестности точки значение лапласиана в этой точке есть предел

Одновременно с предыдущим представлением для оператора Лапласа функции , имеющей непрерывные вторые производные, справедлива формула

Эта формула выражает непосредственную связь лапласиана функции с её объёмным средним в окрестности данной точки.

Доказательство этих формул можно найти, например, в ^[1].

Вышеизложенные пределы, во всех случаях, когда они существуют, могут служить определением оператора Лапласа функции Такое определение предпочтительнее обычного определения лапласиана, предполагающего существование вторых производных рассматриваемых функций, и совпадает с обычным определением в случае непрерывности этих производных.

Выражения для оператора Лапласа в различных криволинейных системах координат

В произвольных ортогональных криволинейных координатах в трехмерном пространстве :

где — коэффициенты Ламе.

Цилиндрические координаты

В цилиндрических координатах вне прямой :

Сферические координаты

В сферических координатах вне начала отсчёта:

или

В случае если

Параболические координаты

В параболических координатах (в трёхмерном пространстве) вне начала отсчёта:

Цилиндрические параболические координаты

В координатах параболического цилиндра вне начала отсчёта:

Применение

С помощью данного оператора удобно записывать уравнения Лапласа, Пуассона и волновое уравнение, хотя наиболее простой вид последнее принимает с использованием оператора Д'Aламбера (Даламбертиана). Впрочем, последний представляет собой не более, чем оператор Лапласа в пространстве Минковского (формально пространство Минковского можно ввести для любого поля, подчиняющегося волновому уравнению, хотя, конечно, параметр c может быть в каждом конкретном случае своим, например, скорость звука).

В физике оператор Лапласа применим в электростатике и электродинамике, во многих уравнениях физики сплошных сред, а также при изучении равновесия мембран, пленок или поверхностей раздела фаз с поверхностным натяжением (см. Лапласово давление), стационарных задач диффузии и теплопроводности, которые сводятся в непрерывном пределе к обычным уравнениям Лапласа или Пуассона или к некоторым их обобщениям.

Вариации и обобщения

• Оператор Д’Аламбера

См. также

• Оператор набла
• Уравнение Лапласа
• Гармоническая функция

Литература

1. Тиман А.Ф., Трофимов В.Н. Введение в теорию гармонических функций. М. Наука. 1968г. 208с.

Внешние ссылки

• MathWorld description of Laplacian